¿Por qué decimos que una línea es unidimensional, que un cuadrado es bidimensional, o que una esfera es tridimensional? ¿Qué significan tales afirmaciones? ¿A qué se refieren esas características de las cosas?
Cada objeto real ocupa una región del espacio. También, otros objetos matemáticos no tan "reales". Tal ocupación del espacio es lo que llamamos volumen. El concepto de volumen lo estamos usando en un sentido general, el del tamaño de las cosas. Por ejemplo, el tamaño o volumen de una línea recta es su longitud.
Así, para la línea el volumen significa longitud, para el cuadrado, área y, para el cubo, aquello que llamamos habitualmente "volumen".
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La idea de dimensión, en este contexto geométrico, se asocia a la manera en que el volumen o tamaño de un objeto cambia al agrandarlo proporcionalmente, o escalarlo. ¿Cómo se ve esto?
Los objetos tienen como base una dimensión lineal; por ejemplo, el cuadrado tiene el lado de largo L.
El volumen de estos objetos simples es una potencia de la dimensión lineal L. Para la recta
V = L = L1,].
para el cuadrado,
V = L2,
y para el cubo,
V = L3.
El exponente de la potencia representa la dimensión geométrica del objeto. Así, la línea recta tiene dimensión 1, el cuadrado, dimensión 2 y el cubo, dimensión 3.
Este razonamiento parece ser la forma de descubrir la dimensión de los objetos geométricos. Pero, ¿vale para objetos geométricos más complicados?
Efectivamente, es posible aplicar esta idea para objetos bastante complicados, como veremos.
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¿Cuál es la dimensión geométrica de la silla?
¡Explóralo!
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La pregunta de cuánto más grande es la silla grande es capciosa porque no especificamos el criterio de comparación. La silla grande es 2 veces más alta, y si estamos preocupados de cuánto volumen de madera necesitamos para la silla grande, entonces ese volumen será 8 veces mayor. El volumen aumenta con la potencia 3, porque 23=8. Si, en cambio, nuestra comparación se refiere al uso, es decir, cuánto más grande debe ser la persona para que la silla le sea útil, la respuesta es simplemente el doble más alta.
Pero, algo más importante. Este ejemplo ilustra el método para determinar la dimensión geométrica de objetos complicados.
Al escalar la silla, a 2 veces, nos preguntamos, cuánto ha aumentado el volumen y cuál es la potencia que relaciona el escalamiento lineal con el volumen. La respuesta ya la dimos: el exponente es 3, porque 23=8. |
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Entonces, la dimensión geométrica de la silla es 3.
Describamos en general el método que acabamos de ilustrar.
El método consiste en cambiar L por αL. Luego, averiguamos cómo ha cambiado el volumen por efecto de ese cambio de escala. En general, V cambia a αdV. Entonces, la dimensión del objeto será el exponente, d, del factor de escala α.
Hay algo muy bello en este procedimiento. Hay casos imaginados por los matemáticos -y se han construidos imaginariamente ejemplos de esos extraños objetos- que cuando son escalados, su “volumen” aumenta con un exponente ¡fraccionario! Son los llamados fractales y la apuesta es que en la naturaleza existen fenómenos que se comportan aproximadamente como estos entes matemáticos.
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